Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 9.4 - Ex. 15

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desse livro

Use uma calculadora para isso, tanto uma função exponencial e uma função logística para esses dados. Faça um gráfico dos pontos de dados e ambas as funções, e comente a precisão dos modelos. [Dica: subtraia 94.000 de cada população figures. Depois de obter um modelo da sua calculadora, adicione 94.000 para obter seu modelo inicial. Pode ser útil escolha t = 0 para corresponder a 1960 ou 1980.]

Passo 1

Temos a seguinte tabela de dados

Se plotarmos esses dados teremos

O exercício nos pede para comparar a curva de dados real com a curva formado pelo nosso modelo populacional

Precisamos então é resolver nossa equação diferencial.

O que temos aqui para resolver a questão a) é saber olhar para dados e encontrar significado. A expressão padrão para crescimento populacional é

d p d t = k p 1 - p M

O enunciado nos diz que podemos escrever k( medido em milhões ) como :

k = 1 P d P d t

k = 1 282 * 27 10 → 9 940  

Assim nossa equação fica

d p d t = 9 940 p 1 - p 800

E nosso p ( t ) também é medido em milhões

Passo 2

Temos que resolver essa equação diferencial e encontrar P 1 0 0 . O próprio Stewart nos dá essa solução, através de integração por partes, dizendo que

p t = M 1 + A e - k t

Onde

A = M + C C

E c   é nossa constante arbitraria de integração indefinida. Vamos plotar os valores

A = 800 C + 1

Agora vamos descobrir a solução de p ( t )

p t = M 1 + A e - k t

p t = 800 1 + 80 0 C + 1 e - 9 t 940

Sabendo que P 0 = 282 milhões (considerando o ano 2000 como nosso marco t   = 0 )

282 = 800 1 + 800 C + 1 e - 9 t 940

1 + 80 0 C + 1 = 80 0 282

800 C = 800 282 - 2  

C = 800 80 0 - 2 * 282 800

C = 2712

Então nossa função P t fica

p t = 80 0 1 + 800 2713 + 1 e - 9 t 940

Agora só nos resta fazer p ( 10 0 )

p 1 0 0 = 800 1 + 800 2713 + 1 e - 9 00 940  

p 1 0 0 = 534   milhões

Passo 3

Podemos continuar com nossa analise e predizer uma estimativa pra população dos EUA em 2200.

p 2 00 = 800 1 + 800 2713 + 1 e - 18 00 940  

Ou seja, teremos

p 2 00 = 672   m ilhões

Passo 4

Vamos calcular em que ano a população chegara em 500 milhões de habitantes

p t = 800 1 + 800 2713 + 1 e - 9 t 940

500 = 800 1 + 800 2713 + 1 e - 9 t 940

1 + 800 2713 + 1 e - 9 t 940 = 800 500

e - 9 t 940   = 800 500 - 1 800 2713 + 1

e - 9 t 940   = 2713 5855

- 9 t 940 =   ln ⁡ 2713 5855

t = 80 anos

Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

  1. k = 9 940
  2. p 100 = 534   milhões
  3. p 200 = 672   m ilhões
  4. t = 80 anos

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