Enunciado

Um corpo de massa 10   k g é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8   m / s , determine a velocidade no intante t .

(suponha a aceleração da gravidade a 10 m / s 2 ).

Passo 1

Fala galera, nosso objetivo é calcular a velocidade no intante t de um corpo de massa 10   k g que é abandonado a uma certa altura. Sabe-se que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade. Admitindo-se que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8   m / s

Passo 2

Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.

Sabemos que a relação da somatória de forças é:

∑ F = m a

Onde F é a força dada em N , m a massa em k g e a a aceleração em m / s 2

E somatório de forças entendemos por:

∑ F = F 1 + F 2 + … + F n

Ou seja, qualquer força agindo no corpo entra nessa soma e o seu somatório é igual a m a

Tendo dito isso, quais forças temos?

Ele fala do peso, que sabemos ser:

W = m g

Tal que W é a força peso dado em N e g é a aceleração da gravidade dada em m / s 2 , que é uma constante e também m é uma constante do corpo.

E por fim temos uma força de resistência que ele diz ser proporcional a velocidade, ou seja:

F ∝ v

Quando temos uma proporção precisamos de uma constante de proporcionalidade, vamos usar β :

F = β v

Para substituir temos que lembrar primeiramente da orientação, pra física referencial importa muito!

Vamos adotar o sentido da resultante como positivo, por isso vamos ter a força peso como positiva e a resistência do ar como negativa, substituindo teremos:

m g - β v = m a

Mas podemos escrever a aceleração:

a = d v d t

Enfim temos uma função que podemos achar a função velocidade:

m g - β v = m d v d t

Se quisermos deixar mais claro as constantes que já temos podemos substituir m   e   g :

10 × 10 - β v = 10 × d v d t → 100 - β v

= 10 d v d t

Passo 3

Agora só precisamos colocar as variáveis iguais de cada lado e integrar:

d t 10 = d v 100 - β v

∫ d t 10 = ∫ d v 100 - β v

Agora vamos fazer uma substituição tal que u = 100 - β v → d u = - β d v , ou seja:

1 10 ∫ d t = - 1 β ∫ d u u

Assim:

1 10 t = - 1 β l n l n   u  

Voltando pra variável v :

1 10 ( t + k ) = - 1 β l n l n   100 - β v  

Podemos substituir t = 0 ,   v = 0 :

1 10 ( k ) = - 1 β l n l n   100  

1 10 ( t ) - 1 β l n l n   100   = - 1 β l n l n   100 - β v  

- 1 10 t = 1 β l n l n   100 - β v   - 1 β l n l n   100  

- 1 10 t = 1 β l n l n   100 - β v 100  

- β 1 10 t = l n l n   100 - β v 100  

e - β t 10 = 1 - β v 100

1 - e - β t 10 = β v 100

v = 100 β 1 - e - β t 10

Passo 4

Por fim temos que achar esse valor de β , como sabemos que no quando t = 1 s → v = 8 m / s , então:

8 = 100 β 1 - e - β 10

→ β = 25 2 1 - e - β 10

Não podemos desenvolver mais que isso, então vamos ter que :

v = 1 β 100 - e - t β 10

E que, implicitamente:

β = 25 2 1 - e - β 10

Resposta

v = 100 β 1 - e - β t 10

β = 25 2 1 - e - β 10

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