Enunciado

Use o cálculo para encontrar a área do triângulo com os vértices dados.

0,5 ,   2 ,   - 2 ,   5 ,   1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar a área do triângulo especificado.Com os seguintes vértices:

0,5 ,   2 ,   - 2 ,   5 ,   1

Vamos desenhar no plano cartesiano pra ficar mais claro:

A área delimitada por essas retas podem ser calculadas por:

A = ∫ a b f x - g ( x )

O problema é que aqui temos 3 retas, então vamos ter que dividir esse triangulo assim:

Então vamos calcular a área de cada metade e depois somar! Mas antes disso precisamos das equações das retas!

Passo 2

Com dois pontos, podemos encontrar uma equação da reta utilizando a seguinte fórmula

m = ∆ y ∆ x

E

y = m x + n

Dessa forma, entre os pontos ( 0 ,   5 ) e ( 5 ,   1 ) temos a seguinte equação:

y = - 4 5 x + 5

Entre os pontos ( 2 ,   - 2 ) e ( 5 ,   1 ) temos a seguinte equação:

y = x - 4

Entre os pontos ( 0 ,   5 ) e ( 2 ,   - 2 ) temos a seguinte equação:

y = - 7 2 x + 5

Passo 3

Então pra área a esquerda podemos fazer:

∫ a b - 4 5 x + 5 - - 7 2 x + 5 d x

∫ a b - 4 5 x + 7 2 x   d x

O limite de integração inferior vai ser 0 , que é onde as retas se interceptam e o limite de integração superior vai ser na intercepção das retas com a reta x = 2 . Então temos:

A 1 = ∫ 0 2 - 4 5 x + 7 2 x   d x

Integrando:

A 1 = ∫ 0 2 - 4 5 x + 7 2 x   d x = - 4 5 x 2 2 + 7 2 x 2 2   0 2

- 4 5 x 2 2 + 7 2 2 x 2 2   0 2 = - 2 x 2 5 + 7 x 2 4   0 2

Aplicando os limites de integração:

- 2 x 2 5 + 7 x 2 4   0 2 = - 2 2 2 5 + 7 2 2 4 - - 2 0 2 5 + 7 0 2 4

= 8 5 + 7

Passo 4

Agora a área da direita:

∫ a b - 4 5 x + 5 - x - 4 d x

O limite de integração inferior vai ser 5 , que é onde as retas se interceptam e o limite de integração superior vai ser na intercepção das retas com a reta x = 2 . Então temos:

∫ 0 5 - 9 5 x + 9   d x = - 9 5   x 2 2 + 9 x 0 5

- 9 5   x 2 2 + 9 x 0 5 = - 9 5   5 2 2 + 9 5 - - 9 5   0 2 2 + 9 0

= - 45 2 + 4 5 = 45 2

A = 8 5 + 7 + 45 2 = 3 1,1

Agora somamos as duas áreas:

Resposta

A = 31,1

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