Enunciado

Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo tranquilo?

Se você não sabe o que é SCA, tá de boa. Eu também não sabia, mas é sistema de computação algébrica (ou CAS, Computer Algebra System).

O que precisamos fazer aqui é tentar encontrar uma expressão s n para a série usando algum programa de computação algébrica. No nosso caso, podemos usar o software Mathematica com a função “Apart”.

Depois, com esse expressão que o programa deu, achamos a soma da nossa série.

E por fim, vamos pedir para o programa também calcular a soma de uma vez e ver se ele confirma a soma que tinhámos achado anteriormente.

Vamos passo a passo!

Passo 2

Jogando no software, ele nos dá que a expressão da soma da série é:

3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3 = 1 n 3 - 1 n + 1 3

Então:

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 - 1 n + 1 3

Essa será uma série telescópica, então vamos analisar as somas parciais.

Passo 3

Buscando agora quanto vale nossa soma pela expressão que o Mathematica nos deu, vamos analisar o s n

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 2 + a n - 1 + a n

Aplicando na nossa expressão, teremos:

s n = 1 1 3 - 1 2 3 + 1 2 3 - 1 3 3 + 1 3 3 - 1 4 3 + … + 1 n - 2 3 - 1 n - 1 3                                       + 1 ( n - 1 ) 3 - 1 n 3 + 1 n 3 - 1 n + 1 3

Analisando a série, todos os termos vão se cancelar, menos a primeira e a última fração, então temos uma fórmula para o nosso termo geral.

s n = 1 - 1 n + 1 3

Passo 4

Para calcular a soma basta aplicar o limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 3 = 1

Logo:

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3 = 1

Passo 5

Para finalizar, vamos encontrar o valor da soma de ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3 pedindo para o Mathematica calcular diretamente:

Quando usamos a função Sum[f,{n,1,Infinity}] no Mathematica, também chegamos no valor de s n = 1 , o que confirma nossa resposta do passo anterior.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 + 3 n + 1 n 2 + n 3 = 1

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