Enunciado

Quando o dinheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do dinheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diante. Os economistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comunidade hipotética isolada, o governo local começa o processo gastando $ D . Suponha que cada pessoa que recebe dinheiro o dinheiro gasto gaste 100 c % e economize 100 s % do dinheiro que recebeu. Os valores c e s são denominados propensão marginal a consumir e propensão marginal a economizar e, é claro, c + s = 1 .

  1. Seja S n o gasto total que foi gerado depois de n transações. Encontre uma equação para S n .
  2. Mostre que lim n → ∞ ⁡ S n = k D , onde k = 1 / s . O número k é chamado multiplicador. Qual é o multiplicador se a propensão marginal para consumir for 80 % ?

Obs. O governo federal usa esse princípio para justificar o gasto deficitário. Os bancos usam esse princípio para justificar o empréstimo de uma grande porcentagem do dinheiro que recebem em depósitos.

Passo 1

Fala, galera! Tudo tranquilo?

A ideia aqui é que cada transação aumenta o gasto total em um valor igual ao gasto das pessoas que receberam o dinheiro na transação anterior.

Vamos entender o que nossa questão nos traz e o que fazer em cada alternativa:

A letra (a) pede que a gente encontre uma expressão de S n , ou seja, a soma da nossa série, valor para qual ela vai conforme seus termos aumentam.

Na letra (b) precisaremos achar o valor da nossa soma calculando o limite dela e depois encontrar esse número k com c = 80 % .

Passo 2

O primeiro dinheiro gasto é do governo, quando ele gasta $ D , então já temos o primeiro termo da soma:

s 1 = D

Em seguida, a próxima pessoa gasta 100 c % , ou seja, se ela recebeu D , ela vai gastar D c e em seguida o próximo vai receber D c e gastar D c 2 , e assim por diante então

s n = D + D c + D c 2 + … + D c n - 1

Isso é uma série geométrica e sabemos que o termo da soma parcial de uma série geométrica é:

s n = D 1 - c n 1 - c

Prontinho! Chegamos na resposta da nossa alternativa (a).

Passo 3

Vamos começar a responder nossa alternativa (b) calculando o limite da soma da série:

lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ D 1 - c n 1 - c

Como c < 1 , no limite c n → 0 quando n → ∞ , então

lim n → ∞ ⁡ D 1 - c n 1 - c = D 1 - c

O enunciado nos deu que c + s = 1 , subtraindo c dos dois lados temos s = 1 - c , substituindo:

lim n → ∞ ⁡ S n = D s

Passo 4

Agora podemos finalizar a letra (b) encontrando o valor do número k :

Nosso multiplicador é:

k = 1 s = 1 1 - c

Quando c = 80 % = 0,8

k = 1 1 - 0,8

k = 1 0,2 = 10 2

k = 5

Prontinho! Letra (b) respondida!

Resposta

  1. s n = D 1 - c n 1 - c
  2. k = 5
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 1 ∞ 1 e n + 1 n n + 1