Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 6 - x ;   1,5

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 5 - 1 n = 4 n

x k * = 4 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 6 - 4 k - 1 2 n   4 n  

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 6 n - 4 k + 2 n 4 n

A = l i m n → ∞ 4 n ∑ k = 1 n 6 n n - 4 k n + 2 n

A = l i m n → ∞ 4 n 6 ∑ k = 1 n 1 - 4 n ∑ k = 1 n k + 2 n ∑ k = 1 n 1  

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A = l i m n → ∞ 4 n   6 n - 4 n n n + 1 2 + 2 n n  

A =   l i m n → ∞ 4 n 6 n - 2 n - 2 + 2

A =   l i m n → ∞ 24 - 8

A = 16

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

49- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50 lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ 1 x = 0
47- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50
Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - Lϵ seja verdadeira. Dê então um valo
46- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50 lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 = 2
44- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50 lim x → 3 ⁡ 1 x 2 = 1 3