Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x ,   - 1,2 , confira sua resposta com um argumento geométrico simples.

Passo 1

Segundo a definição 5.4.5, a área líquida entre a curva de f ( x ) em [ a , b ] , em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 2 + 1 n = 3 n

x k * = - 1 + 3 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - 1 + 3 k n 3 n  

A =   lim n → ∞ ⁡ 3 n ∑ k = 1 n - 1 + 3 k n

A = l i m n → ∞ 3 n ∑ k = 1 n - 1 + 3 n ∑ k = 1 n k

Vamos separar e calcular os somatórios agora...

A = l i m n → ∞ 3 n - n + 3 n n n + 1 2  

A =   l i m n → ∞ 3 n - n + 3 n + 1 2

A =   l i m n → ∞ - 3 + 9 2 + 9 2 n

A =   - 3 + 9 2

A = 3 2

Passo 3

Beleza, vamos ver porque a área deu isso...

Olha aí! A parte positiva é maior que a parte negativa. A área se torna a diferença entre as áreas dos triângulos que tem área:

A 1 = 1 ⋅ 1 2 = 1 2

A 2 = 2 ⋅ 2 2 = 4 2

A 2 - A 1 = 4 2 - 1 2 = 3 2

Prontinho!

Resposta

A = 3 2

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