Enunciado

Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.

g x =   2 3 - x ,                     ( - ∞ ,   3 ]

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado fornece a função g e o intervalo ( - ∞ ,   3 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em um intervalo, ela deve ser continua em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

Para encontrarmos os pontos que a função está definida devemos analisar o seu domínio. O termo dentro da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter 3 - x   ≥ 0 . Assim, g só estaria bem definida se x ≤ 3 , que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Vamos tomar a ∈ ( - ∞ ,   3 ] . Como a ≤ 3 , segue que

g a = 2 3 - a

Calculemos agora o limite. Usando a propriedade da função composta:

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ 2 3 - x = 2   lim x → a ⁡ 3 - x = 2 3 - a

Vemos então que lim x → a ⁡ g ( x ) = g ( a ) para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo ( - ∞ ,   3 ] . Como a é arbitrário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

R: demonstração.

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