Enunciado

Encontre d y // d x por derivação implícita.

x^2 y^2 + x s e n y = 4

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

x^2 y^2 + x s e n y = 4

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar (d y)/(d x) de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, temos que:

(f (y))^' = f^' (y) ��� y '

Que nada mais é do que a aplicação da regra da cadeia.

Derivando a equação x^2 y^2 + x s e n y = 4 com relação a x , temos que:

(d)/(d x) x^2 y^2 + (d)/(d x) x s e n y = (d)/(d x) 4

Pela regra da cadeia, temos:

2 x * y^2 + x^2 * 2 y * (d y)/(d x) + 1 * s e n y + x * cos y * (d y)/(d x) = 0

Assim,

2 x y^2 + 2 x^2 y y^' + s e n y + x cos y (d y)/(d x) = 0

Passo 3

Isolando (d y)/(d x) , temos que

(d y)/(d x) (2 x^2 y + x cos y) = - 2 x y^2 - s e n y

(d y)/(d x) = - (2 x y^2 + s e n y)/(2 x^2 y + x cos y)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(d y)/(d x) = - (2 x y^2 + s e n y)/(2 x^2 y + x cos y)

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