Enunciado

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a .

f x = x 3 ; a = 0

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h =

= lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h = lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 =

= 3 x 2 + 3 x ⋅ 0 + 0 2 = 3 x 2

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = 0 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos achar o ponto x 0 , y 0 , já temos que x 0 = 0 , vamos então aplicar esse valor em f x para achar y 0 :

y 0 = f 0 = 0 3 = 0

E agora vamos achar a inclinação f ' 0 , substituindo na derivada que achamos no passo 1 :

f ' 0 = 3 ⋅ 0 2 = 0

Passo 4

Pronto, temos só que substituir os valores na equação, o ponto 0 , 0 e a inclinação f ' 0 = 0 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - 0 = 0 x - 0 →

y = 0

Resposta

f ' x = 3 x 2 e y = 0

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