Enunciado

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a .

f x = 2 x 3 + 1 ; a = - 1

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h 3 + 1 - 2 x 3 + 1 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - 2 x 3 - 1 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 x 3 + 6 x 2 h + 6 x h 2 + 2 h 3 + 1 - 2 x 3 - 1 h = lim h → 0 ⁡ 6 x 2 h + 6 x h 2 + 2 h 3 h =

= lim h → 0 ⁡ 6 x 2 + 6 x h + 2 h 2 = 6 x 2 + 6 x ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 2 = 6 x 2

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = - 1 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos achar o ponto x 0 , y 0 , já temos que x 0 = - 1 , vamos então aplicar esse valor em f x para achar y 0 :

y 0 = f - 1 = 2 ⋅ - 1 3 + 1 = 2 ⋅ - 1 + 1 = - 2 + 1 = - 1

E agora vamos achar a inclinação f ' - 1 , substituindo na derivada que achamos no passo 1 :

f ' - 1 = 6 ⋅ - 1 2 = 6

Passo 4

Pronto, temos só que substituir os valores na equação, o ponto - 1 , - 1 e a inclinação f ' - 1 = 6 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - - 1 = 6 x - - 1 →

y + 1 = 6 x + 1 →

y = 6 x + 6 - 1 →

y = 6 x + 5

Resposta

f ' x = 6 x 2 e y = 6 x + 5

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