Enunciado

23. Use as definições das funções hiperbólicas para achar os seguintes limites.

(a) lim x → ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(b) lim x → - ∞ ⁡ tgh ⁡ x

(c) lim x → ∞ ⁡ senh ⁡ x

(d) lim x → - ∞ ⁡ senh ⁡ x

(e) lim x → ∞ ⁡ sech ⁡ x

(f) lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x

(g) lim x → 0 + ⁡ cotgh ⁡ x

(h) lim x → 0 - ⁡ cotgh ⁡ x

(i) lim x → - ∞ ⁡ cossech ⁡ x

Passo 1

(f)

A cotangente hiperbólica é a mesma coisa que 1 sobre a tangente hiperbólica:

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

A gente sabe que a tangente hiperbólica é:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

Então a cotangente hiperbólica fica:

cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x

E substituindo pela definição de seno e cosseno hiperbólico fica:

cotgh ⁡ x = e x + e - x 2 e x - e - x 2

Simplificando a divisão por 2:

cotgh ⁡ x = e x + e - x e x - e - x

Aplicando o limite:

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x

Para simplificar essa expressão podemos multiplicar em cima e embaixo por e - x :

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x ⋅ e - x e - x

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ 1 + e - 2 x 1 - e - 2 x

Substituindo por infinito:

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1 + e - 2 ∞ 1 - e - 2 ∞

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1 + 0 1 - 0

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1

Resposta

lim x → ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1

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