Enunciado

23. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh - 1 ⁡ x

(b) tgh - 1 ⁡ x

(c) cossech - 1 ⁡ x

(d) sech - 1 ⁡ x

(e) cotgh - 1 ⁡ x

Passo 1

(e)

Sendo y = co tg h - 1 ⁡ x , então

x = co tg h ⁡ y

Nós queremos a derivada de y então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x co tg h ⁡ y

A derivada da cotangente hiperbólica é menos a cossecante hiperbólica ao quadrado:

1 = - cossech 2 ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = - 1 cossech 2 ⁡ y

Podemos usar essa relação, o jeito de chegar nela está lá no Exercicio 13:

cotgh 2 ⁡ y - 1 = cosech 2 ⁡ y

Então:

d y d x = - 1 cotgh 2 ⁡ y - 1

Aplicando esse sinal que ta na frente no denominador:

d y d x = 1 1 - cotgh 2 ⁡ y

Como no inicio definimos que

x = co tg h ⁡ y

e

y = co tg h - 1 ⁡ x

então

d d x co tg h - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Resposta

d d x cotgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → ∞ ⁡ sec h ⁡ x
Encontre a derivada. f x =e x cosh ⁡ x
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → - ∞ ⁡ csc h ⁡ x
Encontre a derivada. f x = s e c hx( 1 + ln ⁡ sech ⁡ x )
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → ∞ ⁡ coth ⁡ x