Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^4 + sen(y) = x^3 \* y^2

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x 4 + s e n   ( y ) ' = [ x 3 y 2 ] '

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

4 x 3 + cos ⁡ y ⋅ y ' = x 3 ' y 2 + x 3 [ y 2 ] '

4 x 3 + cos ⁡ ( y ) ⋅ d y d x = 3 x 2 y 2 + 2 x 3 y ⋅ d y d x

cos ⁡ y - 2 x 3 y ⋅ d y d x = 3 x 2 y 2 - 4 x 3

d y d x = 3 x 2 y 2 - 4 x 3 cos ⁡ ( y ) - 2 x 3 y

Resposta

d y d x = 3 x 2 y 2 + y 2 - 2 cos ⁡ ( y ) - 2 x 3 y

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