Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

2xy + y^2 = x + y

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

2 x y + y 2 ' = [ x + y ] '

2 x y ' + y 2 ' = x ' + [ y ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

2 ⋅ ( x ' y + x y ] ' + y 2 ' = x ' + [ y ] '

2 ⋅ y + x ⋅ d y d x + 2 y ⋅ d y d x = 1 + d y d x

2 x ⋅ d y d x + 2 y ⋅ d y d x - d y d x = 1 - 2 y

2 x + 2 y - 1 ⋅ d y d x = 1 - 2 y

d y d x = 1 - 2 y 2 x + 2 y - 1

Resposta

d y d x = 1 - 2 y 2 x + 2 y - 1

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