Enunciado

49. Mostre que se é possível desenhar três normais a partir do ponto ( a , 0 ) até a parábola   x = y ² , apresentada no driagrama a seguir; então a deve ser maior que 1 2 . Uma das normais é o eixo x . Para que valor de a as outras duas normais são perpendiculares?

Passo 1

Como comentado na seção 7 do George, sabemos que a reta normal é a reta perpendicular àquela que tangencia a curva no ponto de incidência. Dessa forma, antes de tudo devemos derivar implicitamente a equação que nos foi dada. Fazendo isso, teremos:

1 = 2 y . d y d x

∴ d y d x = 1 2 y

Passo 2

Nosso objetivo agora é encontrar a reta que tangencia a curva, ou seja, a derivada da equação no ponto que foi dado, que é ( a , 0 ) . No entanto, de forma genérica, precisamos de dois pontos para determinar a equação da reta. Dessa forma, teremos: a , 0   e   ( x 1 , y 1 ) .

y 1 - 0 x 1 - a = - 2 y 1

y 1 = - 2 y 1 ( x 1 - a )

Isolando a , teremos:

a = x 1 + 1 2

Passo 3

Pela simetria da parábola que nos foi dada, temos que os pontos no qual se encontram as retas normais são:

y = x

∴ x 1 ,   x 1   e   ( x 1 ,   - x 1 )

Se as duas retas são perpendiculares, então o produto entre elas tem que ser - 1 . Logo:

x 1 x 1 - a . - x 1 x 1 - a = - 1

Lembrando que os pontos foram aplicados na equação da reta também, ok? Continuando, temos:

x 1 = ( a - x 1 ) ²

∴ x 1 = 1 4

Passo 4

De acordo com os pontos que comentamos no passo anterior, x 1 ,   x 1   e   ( x 1 ,   - x 1 ) , então se x 1 = 1 4 , isso implica que y 1 = ± 1 2 , certo?

Substituindo os valores de y 1 e x 1 na equação:   y 1 = - 2 y 1 ( x 1 - a ) , então conseguiremos descobrir o valor de a .

Para y 1 = + 1 2 , temos:

1 2 = - 1 4 - a ⇒ a = 1 2 + 1 4

a = 3 4

Para y 1 = - 1 2 , temos:

- 1 2 = 1 4 - a ⇒ a = 1 4 + 1 2

a = 3 4

Sendo assim, fica provado que a > 1 2 , c.q.d.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.a) x 2 + y 2 = 4 ,x 2 = 3 y ² ²
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