Enunciado

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

(3 x y + 7)^2 = 6 y

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[(3 x y + 7)^2]^' = [ 6 y ] '

[(3 x y + 7)^2]^' = 6 * (d y)/(d x)

Precisamos agora calcular a derivada de (3 x y + 7)^2 . E como faremos agora? Basta aplicar a regra da cadeia!

Passo 3

Vejamos separadamente como aplicar a regra da cadeia. Temos então:

[ (3 x y + 7)^2 ]^' = 2 (3 x y + 7) * [ 3 x y + 7 ] '

A derivada da função de fora (u^2) aplicada a função de dentro ( x - y ) vezes a derivada da função de dentro. Exatamente como sempre fizemos! Continuando o cálculo, temos:

[(x - y)^2]^' = 2 (3 x y + 7) * [3 y + 3 x * (d y)/(d x)]

[(x - y)^2]^' = 6 y (3 x y + 7) + 6 x (3 x y + 7) * (d y)/(d x)

Passo 4

Continuando o cálculo da nossa derivada, temos:

[(3 x y + 7)^2]^' = 6 * (d y)/(d x)

6 y (3 x y + 7) + 6 x (3 x y + 7) * (d y)/(d x) = 6 * (d y)/(d x)

18 x^2 y + 42 x * (d y)/(d x) - 6 (d y)/(d x) = - 18 x y^2 - 42 y

(3 x^2 y + 7 x - 1) * (d y)/(d x) = - 3 x y^2 - 7 y

(d y)/(d x) = - (3 x y^2 + 7 y)/(3 x^2 y + 7 x - 1)

Resposta

(d y)/(d x) = - (3 x y^2 + 7 y)/(3 x^2 y + 7 x - 1)

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