Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

(3xy + 7)^2 = 6y

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

3 x y + 7 2 ' = [ 6 y ] '

3 x y + 7 2 ' = 6 ⋅ d y d x

Precisamos agora calcular a derivada de 3 x y + 7 2 . E como faremos agora? Basta aplicar a regra da cadeia!

Passo 3

Vejamos separadamente como aplicar a regra da cadeia. Temos então:

[ 3 x y + 7 2 ] ' = 2 3 x y + 7 ⋅ [ 3 x y + 7 ] '

A derivada da função de fora u 2 aplicada a função de dentro ( x - y ) vezes a derivada da função de dentro. Exatamente como sempre fizemos! Continuando o cálculo, temos:

x - y 2 ' = 2 3 x y + 7 ⋅ 3 y + 3 x ⋅ d y d x

x - y 2 ' = 6 y 3 x y + 7 + 6 x 3 x y + 7 ⋅ d y d x

Passo 4

Continuando o cálculo da nossa derivada, temos:

3 x y + 7 2 ' = 6 ⋅ d y d x

6 y 3 x y + 7 + 6 x 3 x y + 7 ⋅ d y d x = 6 ⋅ d y d x

18 x 2 y + 42 x ⋅ d y d x - 6 d y d x = - 18 x y 2 - 42 y  

3 x 2 y + 7 x - 1 ⋅ d y d x = - 3 x y 2 - 7 y

d y d x = - 3 x y 2 + 7 y 3 x 2 y + 7 x - 1

Resposta

d y d x = - 3 x y 2 + 7 y 3 x 2 y + 7 x - 1

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