Enunciado

Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

sen ⁡ x + y = 2 x - 2 y ,   ( π , π )

Passo 1

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d d x ( sen ⁡ x + y ) = d d x 2 x - 2 y

Isso nos deixa com a equação:

cos ⁡ x + y ⋅ 1 + y ' = 2 - 2 y '

⇒ cos ⁡ x + y ⋅ y ' + 2 y ' = 2 - cos ⁡ ( x + y )

Passo 2

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

y ' ( cos ⁡ x + y + 2 ) = 2 - cos ⁡ ( x + y )

E então,

y ' = 2 - cos ⁡ ( x + y ) cos ⁡ x + y + 2

Passo 3

Agora, precisamos substituir os pontos dados:

Nós temos que: x = π y = π . Assim,

y ' = 2 - cos ⁡ ( 2 π ) cos ⁡ 2 π + 2

Isso implica que:

y ' = 2 - 1 1 + 2 = 1 3

então uma equação da linha tangente é:

y - π = 1 3 x - π

ou

y = 1 3 x + 2 π 3

Resposta

y = 1 3 x + 2 π 3

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