Enunciado

Em que intervalo a curva

y = int_0^x (t^2)/(t^2 + t + 2) d t

é côncava para baixo?

Passo 1

Opa, vamos resolver esse problema! O enunciado nos da:

y = int_0^x (t^2)/(t^2 + t + 2) d t

E precisamos saber onde a curva é côncava para baixo. E, a gente sabe que isso significa que a segunda derivada deve ser negativa. Então vamos encontrar as derivadas.

Usando o teorema fundamental do cálculo parte 1:

y^' = (d)/(d x) (��_0^x (t^2)/(t^2 + t + 2) d t)

Ou seja,

y^' = (x^2)/(x^2 + x + 2)

Passo 2

Calculando a segunda derivada, pela regra do quociente:

y^(' ') = ((x^2 + x + 2) (2 x) - x^2 (2 x + 1))/((x^2 + x + 2)^2)

Arrumando as contas:

y^(' ') = (x^3 + 2 x^2 + 4 x - 2 x^3 - x^2)/((x^2 + x + 2)^2) = (x (x + 4))/((x^2 + x + 2)^2)

Precisamos que y^(' ') < 0 . Isto é,

(x (x + 4))/((x^2 + x + 2)^2) < 0

Passo 3

Como (x^2 + x + 2)^2 > 0 para qualquer valor de x , a única saída é que:

x (x + 4) < 0

Para que o produto seja negativo, precisamos que somente um deles seja negativo, ou seja,

  1. x < 0 e x + 4 > 0
  2. x > 0 e x + 4 < 0

De I)

Temos que x < 0 e x > - 4 . O que corresponde ao intervalo (- 4,0) .

De II), temos que x > 0 e x < - 4 , o que é impossível acontecer.

( Se não tiver enxergando, desenhe a reta e onde fica da um dos pontos, beleza ?)

Logo, a curva y é côncava para baixo quando y^(' ') < 0 ; Isto é, no intervalo (- 4,0) .

Resposta

(- 4,0)

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Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y = x 2 e y = 1 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y = x e y = x 2 .
Encontre o centroide da região.A região delimitada pelos gráficos de y x = 4 e x + y = 5 .
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Encontre o centroide da região.A região delimitada à esquerda pelo eixo y , à direita pela reta x = 2 , abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = x + 6 .