Enunciado

  1. Use a derivação implícita para encontrar y ' se x 2 + x y + y 2 + 1 = 0 .
  2. Trace a curva da parte (a). O que você observa? Demonstre que o que você observa está correto.
  3. Em vista da parte (b), o que você pode dizer sobre a expressão para y ' que você encontrou na parte (a)?

Passo 1

Fala meus queridões!

Nessa questão temos a seguinte expressão onde y é dado implicitamente:

x 2 + x y + y 2 + 1 = 0

E nos é pedido para encontrar a sua derivada y ' implicitamente.

Para isso basta derivar a equação de ambos os lados, sendo que sempre que você derivar um y , tem que multiplicar por y ' depois.

Além disso, podemos ver que temos ali uma regra do produto, pois temos a multiplicação de x y , daí basta usar a regra do produto.

f g ' x = f ' x g x + f x g ' x

Passo 2

  1. Derivando ambos os lados da equação:
  2. x 2 + x y + y 2 + 1 = 0

    Temos que:

    2 x + 1 y + x ⋅ 1 ⋅ y ' + + 2 y y ' + 0 = 0

    y ' x + 2 y = - 2 x - y

    Isolando y ' :

    y ' = - 2 x - y x + 2 y

    Passo 3

  3. Para traçar a curva da letra a),vamos tentar reescrever a equação dada:
  4. x 2 + x y + y 2 + 1 = 0

    x 2 + x y + y 2 = - 1

    Daqui percebemos que para essa igualdade seja verdadeira, é preciso que x e y tenham sinais opostos, pois se tiverem o mesmo sinal, a expressão da esquerda certamente é um valor positivo e não igual a - 1 .

    Para continuar a análise, vamos transformar o termo da esquerda em um produto notável:

    a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 2

    Para isso, vou somar x y em ambos os lados da equação:

    x 2 + 2 x y + y 2 = x y - 1

    Convertendo o produto notável, temos:

    x + y 2 = x y - 1

    Como o lado esquerdo da expressão é positivo, precisamos que o lado direito também seja, ou seja:

    x y - 1 > 0

    x y > 1

    Para que isso ocorra, é necessário que x tenha o mesmo sinal que y , de forma que a sua multiplicação resulte num valor positivo (e maior que 1 ).

    Opa,então vimos anteriormente que x e y precisam ter sinais opostos e agora que x e y precisam ter o mesmo sinal, ou seja, não há valores de x e y que satisfaçam essas condições, pois elas são contraditórias.

    Por conta disso, a expressão dada nos fornece um gráfico vazio, ou seja, não há pontos que satisfaçam a equação.

    Passo 3

  5. A expressão para y ' na parte (a) não tem sentido; isto é, como a equação na parte (a) não tem solução, ela não implica implicitamente defina uma função x de y e, portanto, não faz sentido considerar y ' .

Resposta

y ' = - 2 x - y x + 2 y

Não há gráfico.

y ' não tem sentido.

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