Mostre que

lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x  

Para qualquer x > 0

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos apenas que provar que lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n = e x .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Temos que basicamente usar da manipulação algébrica para encontrar um caminho que nos leve até essa igualdade.

Veja só! 👀

Passo 2

Primeiramente, suponha uma função f que seja

f z = l n ⁡ ( z )

Agora, tomaremos a derivada de f pela definição, então temos que

f ' z = lim h → 0 ⁡ f z + h - f z h

Sabemos que

f ' z = 1 z

Então substituindo, ficamos com

1 z = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h - ln ⁡ z h

Usando as propriedades do logaritmo, temos que

1 z = lim h → 0 ⁡ 1 h ⋅ ln ⁡ z + h z

1 z = lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h z 1 h

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Passando a exponencial em ambos os lados, ficamos com

e 1 z = e lim h → 0 ⁡ ln ⁡ z + h z 1 h

Pela propriedade do limite, podemos dizer que

e 1 z = lim h → 0 ⁡ e ln ⁡ z + h z 1 h

Daí

e 1 z = lim h → 0 ⁡ z + h z 1 h

Então

e 1 z = lim h → 0 ⁡ 1 + h z 1 h

Agora, chamaremos

x = 1 z     e     n = 1 h

Com isso, sabemos que quando h → 0 temos que n → ∞

Substituindo h   por n no nosso limite, ficamos com

e x = lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n

Portanto, está provado.

E aí! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

e x = lim n → ∞ ⁡ 1 + x n n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados