Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = x x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pede para encontrar a derivada da função

y = x x

usando a derivação logarítmica. Isso significa que iremos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação y = x x

para simplificar a expressão e tornar a derivada mais fácil de ser calculada.

Logaritmo Natural de uma Potência: A propriedade do logaritmo natural que permite separar o expoente de uma potência, isto é, ln ⁡ a b = b ⋅ ln ⁡ a .

Derivada do Logaritmo Natural: A derivada do logaritmo natural de uma função, que é

d d x ln ⁡ ( f x ) = f ' x f x

utilizando a regra da cadeia.

Passo 2

Agora, vamos resolver o exercício utilizando a derivação logarítmica:

1. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação: ln ⁡ ( y ) = ln ⁡ ( x x )

2. Usamos a propriedade do logaritmo para simplificar a expressão: ln ⁡ ( y ) = x ⋅ ln ⁡ ( x )

3. Derivamos ambos os lados da equação em relação a \( x \) utilizando a regra da cadeia.

4. Isolamos d y / d x para encontrar a derivada.

Vamos prosseguir com os cálculos.

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação y = x x

ln ⁡ y = ln ⁡ ( x )

Passo 3

Propriedade do Logaritmo:

Utilizamos a propriedade do logaritmo para separar o expoente:

ln ⁡ ( y ) = x ⋅ ln ⁡ ( x )

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x   utilizando a regra da cadeia:

d d x ln ⁡ y = d d x x ⋅ ln ⁡ x

1 y ⋅ d y d x = 1 ⋅ ln ⁡ x + x ⋅ 1 x

Passo 4

Isolamos d y / d x para encontrar a derivada:

d y d x = y ⋅ ( ln ⁡ x + 1 )

Substituição de y de Volta:

Substituímos y = x x na expressão:

d y d x = x x ⋅ ln ⁡ x + 1

Portanto, a derivada da função y = x x em relação a x utilizando a derivação logarítmica é

x x ⋅ ( ln ⁡ x + 1 )

Resposta

y ' = x x ⋅ ( ln ⁡ x + 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ θ 1 + θ
Nos exercícios 55-62, determine a derivada de y com relação a x , t ou θ , conforme o caso y = ln ⁡ ( cos 2 ⁡ θ )
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = t t + 1
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = 1 t ( t + 1 ) ( t + 2 )
Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada. y = x 2 + 1 x - 1 2