Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = ln ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Opa, temos que derivar a seguinte função, usando a derivação logarítmica:

y = ln ⁡ x cos ⁡ x

Jogamos um l n dos dois lados da igualdade:

ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ x

Agora usamos a propriedade da potência:

ln ⁡ y = cos ⁡ x   ln ⁡ ( ln ⁡ x )

Passo 2

Partiu derivar! Usando a derivada implícita:

d d x ln ⁡ y = d d x cos ⁡ x   ln ⁡ ln ⁡ x

Pela regra do produto temos:

d d x ln ⁡ y = cos ⁡ x d d x   ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ ( ln ⁡ x ) d d x cos ⁡ x

Passo 3

Agira vamos derivar! Pra primeira derivada da direita usamos a regra da cadeia, fazendo:

u = ln ⁡ x

d d x   ln ⁡ ln ⁡ x = d d u ( ln ⁡ u )   d d x ( ln ⁡ x )  

d d x   ln ⁡ ln ⁡ x = 1 u 1 x    

d d x   ln ⁡ ln ⁡ x = 1 x ln ⁡ x    

A derivada de cos ⁡ x é - sin ⁡ x , então ficamos com:

d d x ln ⁡ y = cos ⁡ x x ln ⁡ x     - ln ⁡ ( ln ⁡ x ) sin ⁡ x

Agora derivamos a direita:

y ' y = cos ⁡ x x ln ⁡ x     - ln ⁡ ( ln ⁡ x ) sin ⁡ x

Agora basta substituirmos y , então:

y ' = y cos ⁡ x x ln ⁡ x     - ln ⁡ ( ln ⁡ x ) sin ⁡ x

y ' = ln ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x x ln ⁡ x     - ln ⁡ ( ln ⁡ x ) sin ⁡ x

Prontinho!

Resposta

y ' = ln ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x x ln ⁡ x     - ln ⁡ ( ln ⁡ x ) sin ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a derivadah) y = x x 2 + 1
y =1 + 1 x x
y = ln ⁡ ( 1 + x x )
Calculel) y = ( 2 + sin ⁡ x )cos ⁡ 3 x
Calcule a derivada.d) y = 2 x + 1 x