Enunciado

Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função

y = sin ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar a derivação logarítmica pra achar a derivada da função:

y = sin ⁡ x ln ⁡ x

E para isso, tomaremos o ln ⁡ y , daí ficamos com

ln ⁡ y = ln ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x

Ficou bem feio, né?

Mas a ideia em aplicar o ln ⁡ a essa função é justamente usar a propriedade logarítmicas que conhecemos para tornar essa derivação um pouco mais simples.

Então, o que faremos é arrumar um pouco melhor essa função aplicando as propriedade e, aí sim calcular sua derivada.

Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo abaixo.

Passo 2

Nossa função que temos é:

ln ⁡ y = ln ⁡ sin ⁡ x ln ⁡ x

E uma propriedade bem útil aquie é essa:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Aplicando isso a cada termos, ficamos com:

ln ⁡ y = ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x

Agora vamos derivar essa expressão do dois lados. Ok?!

Passo 3

A Derivada se torna:

ln ⁡ y ' = ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x '

Para o lado esquedo temos uma função composta, já que y é uma função de x . Assim, para fazer

ln ⁡ y '

Precisando da regra da cadeia, que será a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro. Assim:

ln ⁡ y ' = 1 y ⋅ y '

Show! E do lado direito temos que fazer:

ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x '

Perceba que agora temos uma multiplicação entre funções, então usaremos a regra do produto. Lembrando que:

u v ' = u ' v + u v '

Fazendo

u = ln ⁡ x

u ' = 1 x

E

v = ln ⁡ sin ⁡ x

Mas para fazer essa derivação usaremos outra regra da cadeia, fazendo a derivada da de fora, vez a derivada da de dentro. Assim, teremos:

v ' = 1 s in ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Aplicando a fórmula da regra do produto, teremos:

ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x ' = 1 x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x + ln ⁡ x ⋅ 1 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Que pode ser escrita como:

ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x ' = 1 x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x + ln ⁡ x ⋅ 1 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x ' = ln ⁡ sin ⁡ x x + ln ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x

Vamos juntar tudo que temos até aqui.

Passo 4

Estamos fazendo:

ln ⁡ y ' = ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x '

E substituindo os dois lados da equação ficamos com:

1 y ⋅ y ' = ln ⁡ sin ⁡ x x + ln ⁡ x cos ⁡ x sin ⁡ x

Isolando y ' ficamos com

y ' = y ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x x + ln ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x

Passo 5

Agora, basta substituirmos y , lembrado que

y = sin ⁡ x ln ⁡ x

Teremos:

y ' = sin ⁡ x ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x x + ln ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x

E essa é nossa derivada!!!

Resposta

y ' = sin ⁡ x ln ⁡ x ⋅ ln ⁡ sin ⁡ x x + ln ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x

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