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Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = 2 u 2 u u 2 + 1

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 u 2 u u 2 + 1

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 u 2 u - ln ⁡ u 2 + 1

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ u + ln ⁡ 2 u - ln ⁡ u 2 + 1

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ u + u ln ⁡ 2 - ln ⁡ u 2 + 1

Fazendo:

u 2 + 1 = u 2 + 1 1 2

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ u + u ln ⁡ 2 - ln ⁡ u 2 + 1 1 2

ln ⁡ y = ln ⁡ 2 + ln ⁡ u + u ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente:

ln ⁡ y ' = ln ⁡ 2 + ln ⁡ u + u ln ⁡ 2 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 '

ln ⁡ y ' = ln ⁡ 2 ' + ln ⁡ u ' + u ln ⁡ 2 ' - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 '

Um pequeno detalhe, não confude aquele ln ⁡ 2 no primeiro e terceiro termos tá? Eles são CONSTANTES. Então:

ln ⁡ 2 ' = 0

u ln ⁡ 2 ' = ln ⁡ 2

Voltando para a derivada

y ' y = 1 u + ln ⁡ 2 - 1 2 u 2 + 1 2 u

y ' y = 1 u + ln ⁡ 2 - u 2 + 1 4 u

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y 1 u + ln ⁡ 2 - u 2 + 1 4 u

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = 2 u 2 u u 2 + 1

Ai nossa derivada fica:

y ' = 2 u 2 u u 2 + 1 1 u + ln ⁡ 2 - u 2 + 1 4 u

Resposta

y ' = 2 u 2 u u 2 + 1 1 u + ln ⁡ 2 - u 2 + 1 4 u

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