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Mostre como estender a função abaixo paraque seja continua na origem

f x = tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x

Passo 1

Para determinarmos para onde devemos estender a função, em outras palavras qual valor da função devemo atribuir ao x = 0 , devemos achar o limite de f x em x = 0 , que é:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x = tg ⁡ tg ⁡ 0 sen ⁡ sen ⁡ 0 = tg ⁡ 0 sen ⁡ 0 = 0 0

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com θ indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chegar no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico só funciona se estivermos com seno.

Vamos abrir a tg ⁡ tg ⁡ x

tg ⁡ tg ⁡ x = sen ⁡ tg ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Colocando isso na expressão de f x :

tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x = sen ⁡ tg ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x = sen ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

O limite fundamental só funciona quando o termo dentro do seno igual ao termo no denominador. Falta tanto o tg ⁡ x quanto o sen ⁡ x . Vamos multiplicar o numerador e o denomindar por esses dosi termos

sen ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x = sen ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x ∙ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ tg ⁡ x tg ⁡ x =

sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ sen ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x ∙ sen ⁡ x tg ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Arrumando para ficar que nem o limite fundamental:

sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ sen ⁡ x tg ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Abrindo aquela segunda tangente vamos ter:

sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ sen ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x = sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Passo 2

Agora vamos para o limite:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Pelas propriedades de limites:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x =

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x

Os primeiros limites são os fundamentais trigonométricos:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ tg ⁡ x tg ⁡ x ∙ 1 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ tg ⁡ x =

1 ∙ 1 1 ∙ cos ⁡ 0 cos ⁡ tg ⁡ 0 = 1 ∙ 1 ∙ 1 cos ⁡ 0 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1

Passo 3

Achamos o nosso limite, ele e constante e iguai a 1 , para estendermos a função de forma que ela seja contínua, basta colocarmos o valor de f x em x = 0 sendo 1

f 0 = 1

Essa é a extensão.

Nossa função vai ficar

f x = tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x s e x ≠ 0 1 s e x = 0

Resposta

f 0 = 1

f x = tg ⁡ tg ⁡ x sen ⁡ sen ⁡ x s e x ≠ 0 1 s e x = 0

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Determine o limite a seguir lim θ → 3 - ⁡ θ θ  
Calcule. lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p
Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ 3 x sen ⁡ 4 x
Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → 0 ⁡ x + sen ⁡ x x 2 - sen ⁡ x
Calcule. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 1 x - sen ⁡ 1 x x
lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x
lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ x x 2
lim x → 0 ⁡ sin 3 ⁡ x x 2