Enunciado

Encontre os limite:

underset(x -> 0)(lim) (3 x - tg 7 x)/(2 x)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é subsitutir o valor de x no limite:

underset(x -> 0)(lim) (3 x - tg 7 x)/(2 x) = (3.0 - tg 0)/(2 . 0) = (0)/(0)

Opa, deu indeterminação. Como temos um seno ali no meio com x indo para 0 , vamos tentar fazer uma manipulação algébrica para chear no limite fundamental trigonométrico:

Lembrando que o limite fundamental trigonométrico é:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1

Vamos começar separando a fração:

(3 x - tg 7 x)/(2 x) = (3 x)/(2 x) - (tg 7 x)/(2 x) = (3)/(2) - (tg 7 x)/(2 x)

Agora, vamos escrever:

tg 7 x = (sen 7 x)/(cos 7 x)

Para fazer o seno aparecer:

(3)/(2) - (tg 7 x)/(2 x) = (3)/(2) - (sen 7 x)/(2 x cos 7 x)

Separando o (sem 7 x)/(x)

(3)/(2) - (1)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(x)

Mas calma, o nosso limite fundamental trigonométrico so funciona se o termo dentro do seno for igual ao termo no denominador. Aqui temos 7 x e x , não são iguais.

Precisamos fazer:

(3)/(2) - (1)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(x) . (7)/(7) = (3)/(2) - (7)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(7 x)

Blz? Basicamente multiplicamos o numerador e o denominador por 7 , para nçao mudar a fração e aparecer o nosso amiguinho.

Terminamos com:

(3)/(2) - (7)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(7 x)

Passo 2

Voltando com aquela expressão para o limite:

underset(x -> 0)(lim) (3 x - tg 7 x)/(2 x) = underset(x -> 0)(lim) ((3)/(2) - (7)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(7 x))

Pelas prórpriedades de limites, podemos fazer:

underset(x -> 0)(lim) ((3)/(2) - (7)/(2 cos 7 x) (sen 7 x)/(7 x)) = underset(x -> 0)(lim) (3)/(2) - underset(x -> 0)(lim) (7)/(2 cos 7 x) * underset(x -> 0)(lim) (sen 7 x)/(7 x)

Assim, vamos acaba com:

underset(x -> 0)(lim) (3 x - tg 7 x)/(2 x) = underset(x -> 0)(lim) (3)/(2) - underset(x -> 0)(lim) (7)/(2 cos 7 x) * underset(x -> 0)(lim) (sen 7 x)/(7 x) = (3)/(2) - (7)/(2 cos 0) * 1 = (3)/(2) - (7)/(2) = - (4)/(2) = - 2

Resposta

- 2

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