Enunciado

Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.

Exercício 5

∫ 1 3 e - 2 x d x

Passo 1

A ideia aqui é estimar esse limitante superior para erro pelas fórmulinhas:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

E S ≤ b - a 5 k 4 180 n 4

Só usar uma para cada letra do enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Na parte do (a) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método do ponto médio. Então a gente precisa calcular:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Temos que:

f x = e - 2 x

Derivando duas vezes:

f ' x = - 2   e - 2 x ,   f ' ' x = 4   e - 2 x  

Dentro do intervalo 1,3 , o maior valor em módulo de e é quando o expoente é maior, ou seja, onde x é menor, já que o expoente é negativo. Aí vemos que:

K 2 = f ' ' 1 = 4   e - 2

Passo 3

Como queremos estimar o erro máximo de M 10 , n = 10 ,   a = 1 e b = 3 . Nossa fórmulinha fica:

E M ≤ 3 - 1 3 4   e - 2 24 ⋅ 10 2

Logo:

E M ≤ 0 , 00 180

Passo 4

Na parte do (b) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método trapezoidal. Então a gente precisa calcular:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde K 2 é o valor máximo de f ' ' x no intervalo da integral.

Já vimos que:

K 2 = 4   e - 2

Como queremos estimar o erro máximo de T 10 , n = 10 ,   a = 1 e b = 3 . Nossa fórmulinha fica:

E T ≤ 3 - 1 3 1 12 ⋅ 10 2

Logo:

E T ≤ 0,00 360

Passo 5

Na parte do (c) do exercício a gente achou uma aproximação da integral pelo método de Simpson. Então a gente precisa calcular:

E S ≤ b - a 5 K 4 180 n 4

Onde K 4 é o valor máximo de f ( 4 ) x no intervalo da integral.

Temos que:

f ' ' ( x ) = 4   e - 2 x

Derivando duas vezes:

f ' ' ' x = - 8   e - 2 x ,   f 4 x = 16 e - 2 x  

Dentro do intervalo 1,3 , o maior valor em módulo de e é quando o expoente é maior, ou seja, onde x é menor, já que o expoente é negativo. Aí vemos que:

K 4 = f 4 1 = 16 e - 2

Passo 6

Como queremos estimar o erro máximo de S 20 , n = 20 ,   a = 1 e b = 3 . Nossa fórmulinha fica:

E S ≤ 3 - 1 5 16 e - 2 180 ⋅ 2 0 4

Logo:

E S ≤ 2,40596 ⋅ 10 - 6

Resposta

E M ≤ 0,00 180

E T ≤ 0,00360

E S ≤ 2,40596 ⋅ 10 - 6

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