Enunciado

Use diferenciais para encontrar um valor aproximado do logaritmo dado e expresse a resposta com três casas decimais.

log 10 ⁡ 997

Passo 1

Lembrando que a diferencial de y é dada por

d y = f ' x Δ x

Onde Δ x é a variação da variável x a partir de x 0

E que fazemos a aproximação

d y = Δ y

Para achar o valor aproximado por diferenciais. Onde

Δ y = y - y 0

Como y 0 sendo o valor de y em x 0

Entao a primeira coisa que temos que fazer e definir qual função devemos usar.

Como o nosse enunciado nos deu um log na base 10 , vamos faze:

y = f x = log 10 ⁡ x

Outro ponto importante é esses deltas loucos. O que fazemos é escolher um x 0 proximo ao valor real que queremos que tenha um valor bonitinho na função.

O x que queremos é 997 , estamos com um log na base 10 , então a ideia é pegar um x 0 sendo um valor próximo que seja potencia de 10 . No caso vamos fazer:

x 0 = 1000

Passo 2

Já conseguimos achar o x 0 e definir a nossa y . Agora vamos para a derivada:

y ' = f ' x = 1 ln ⁡ 10 x

Assim, vamos ter:

d y = Δ y = y - y 0 = 1 ln ⁡ 10 x x - 1000

Vamos achar y 0

y 0 = log 10 ⁡ 1000 = log 10 ⁡ 10 3 = 3 log 10 ⁡ 10 = 3

Terminamos com

y = 3 + 1 ln ⁡ 10 x x - 1000

Passo 3

Agora o nosso x vai ser

x = 997

y = 3 + 1 997 ln ⁡ 10 997 - 1000

y = 3 - 3 997 ln ⁡ 10

Usando uma calculadora para aquela fração doida:

y = 3 - 0,0013068 = 2,9986932

Como ele quer uma aproximação com 3 casas, vamos ter

y = 2,999

Resposta

2,999

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