Enunciado

Use o exercício 24b e a ideia do exercício 27 para mostrar que

d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = f g x g ' x - f h x h ' ( x )

Passo 1

A gente pode escrever a expressão dessa forma:

d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = d d x ∫ h x 0 f t d t + ∫ 0 g x f t d t

Bom, se temos que derivar uma soma de integrais, sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, então, temos que resolver:

d d x ∫ h x 0 f t d t + d d x ∫ 0 g x f t d t

Passo 2

Show! Já vimos que:

d d y ∫ g x a f t d t = - f g x g ' x

Então, resolvendo a primeira derivada:

d d x ∫ h x 0 f t d t = - f h x h ' ( x )

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, na segunda derivada:

d d x ∫ 0 g x f t d t = f g x g ' x

Passo 4

Voltando à soma inicial:

d d x ∫ h x 0 f t d t + d d x ∫ 0 g x f t d t = - f h x h ' ( x ) + f g x g ' x

Que é justamente o que o problema pediu pra gente provar!

d d x ∫ h x g x f ( t ) d t = f g x g ' x - f h x h ' ( x )

Resposta

Provado no passo a passo.

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