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Use a Fórmula 10 para fazer o gráfico das funções dadas em uma mesma tela. Como se relacionam esses gráfico?

y = log 1,5 ⁡ x , y = ln ⁡ x , y = log 10 ⁡ x , y = log 50 ⁡ x

Passo 1

Bom, a fórmula 10 é, na real, a fórmula da mudança de base do logaritmo:

log a ⁡ b = ln ⁡ a ln ⁡ b

Ao invés do logaritmo natural, poderíamos usar um logaritmo com uma outra base, desde que seja a mesma base para o numerador e para o denominador. Vamos usar o logaritmo natural porque temos a tabela de valores, e fica mais fácil o cálculo então.

Passo 2

Colocando as funções nas fórmulas, temos:

y = log 1,5 ⁡ x

= ln ⁡ x ln ⁡ 1,5

= ln ⁡ x ln ⁡ 1,5

Aqui, para calcular o valor de ln ⁡ 1,5 podemos usar manipulação dos números, utilizando as propriedades dos logaritmos, ou utilizar uma calculadora, depende da precisão que o exercícios nos pede. Como queremos o gráfico dessa função apenas, podemos fazer um arredondamento, utilizando apenas a tabela do logaritmo natural:

Assim:

ln ⁡ x ln ⁡ 1,5 =

ln ⁡ x ln ⁡ ( 3 2 ) =

ln ⁡ x ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2 =

ln ⁡ x 1.1 - 0,69 =

ln ⁡ x 0.41

Passo 3

Fazendo o mesmo para y = log 10 ⁡ x , temos:

log 10 ⁡ x =

ln ⁡ x ln ⁡ 10 =

ln ⁡ x ln ⁡ ( 2 * 5 ) =

ln ⁡ x ln ⁡ 2 + ln ⁡ 5 =

ln ⁡ x 0,69 + 1,61 =

ln ⁡ x 2,3

Passo 4

Beleza, agora que temos as nossas funções, podemos plotar elas em um mesmo gráfico, como o pedido:

Aqui, podemos ver que quanto maior o denominador, mais devagar a função cresce. Além disso, todas elas se encontram em x = 1 . Isso acontece porque

ln ⁡ 1 = 0

Assim, independentemente do valor do denominador, a função l n sempre vai cruzar o eixo x em 1 , desde que não tenha nenhuma constante sendo adicionada ou subtraída, o que deslocaria a função para cima ou para baixo, certo? É isso!

Resposta

As funç x = 1 e quanto maior o denominador, mais devagar a função cresce.

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