Responde Aí

Enunciado

Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas, então o número de bactérias após t horas é n = f t = 100 . 2 t / 3 (veja o Exercício 25 na Seção 1.5).

(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.

(b) Quando a população atingirá 50000 bactérias?

Passo 1

Na maioria das vezes, calcular a inversa é um processo bem simples. Nessa questão, na função fornecida obtém-se o valor de n através de t , ou seja, n = f t , e para chegarmos na expressão da inversa, basta pegar a equação n = 100 . 2 t / 3 , e assim isolar a variável t , para que assim tenhamos t em função de n , ou seja, a função inversa t = f - 1 n

Passo 2

Primeiro vamos mexer na função para deixar t sozinho em um lado.

n = 100 . 2 t / 3

2 t / 3 = n 100

t está no expoente, então precisamos jogar isso para base. Conseguimos fazer isso aplicando l o g 2 nos dois lados.

t 3 = log 2 ⁡ n 100

t = 3 . log 2 ⁡ n 100 = f - 1 n

Agora precisamos interpretá-la!

Passo 3

Com a inversa calculada, podemos agora extrair um significado disso. Se antes, medindo o tempo podíamos calcular o número de bactérias, com a função inversa, tendo medido o número de bactérias podemos calcular quanto tempo se passou desde o momento da população inicial de 100 bactérias.

Passo 4

O item (b) dessa questão cobra exatamente o significado da função inversa visto no passo anterior, ou seja, queremos saber quanto tempo se passou do instante inicial, quando a população era de 100, até o instante em que a população alcançou um total de 50000 bactérias.

Dessa forma, é só aplicar esse valor diretamente na função:

t = f - 1 50000 = 3 . log 2 ⁡ 50000 100 ≈ 26,9

Resposta

a)

t = f - 1 n = 3 . log 2 ⁡ n 100

b)

Após aproximadamente 26,9 horas (26 horas e 53 minutos)

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