Enunciado

Use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas soluções quaisquer da equação dada é em que c1 é constante.

Seja y1(t) = e^–at e obtenha uma equação diferencial satisfeita por uma segunda solução y2(t). Resolvendo essa equação, mostre que y2(t) = te^–at.

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Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

y 1 y 2 ' ' - y 1 ' ' y 2 + 2 a y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2 = 0

W   y 1 , y 2 = y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2

e - a t = y 2 ' + a y 2

I =   e a t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

e a t y 2 ' + a e a t y 2 = 1

d d t e a t y 2 =   1

e a t y 2 = t

y 2 t = t   e - a t  

Resposta

y 2 t = t   e - a t  

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Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - y = 0 ;y 1 = cosh ⁡ x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' + 16 y = 0 ; y 1 = cos ⁡ 4 x
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' - y ' = 0 ; y 1 = 1
Nos problemas 1-30, encontre uma segunda solução para cada equação diferencial. Use redução de ordem ou a fórmula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado. y ' ' + 5 y ' = 0 ; y 1 = 1