Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12:

(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada

(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.

5. x 2 y ' ' + 3 s e n x y ' - 2 y = 0

Passo 1

a) O único ponto singular é x = 0 , porque zera o primeiro termo da equação, para sabermos se ele é regular precisamos calcular p 0 e q 0 . Começamos escrevendo a equação da seguinte forma:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Dividindo equação por P ( x ) e multiplicando por x 2 , ela fica:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Sendo que:

P x = 3 x 2

Q x = 3 s e n x

R x = - 2

Agora aplicamos o limite para x → 0 sobre as duas razões que apareceram:

p 0 = lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x ( 3 s e n x ) x 2 = lim x → 0 ⁡ 3 s e n x x = lim x → 0 ⁡ 3 c o s x 1 = 3

Na penúltima igualdade aplicamos a Regra de L’Hôpital.

E,

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 ( - 2 ) x 2 = lim x → 0 ⁡ - 2 = - 2

Como dá para ver os limites não divergem, o que significa que o ponto é singular regular.

Passo 2

b) Agora, para calcularmos a equação indicial, começamos aplicando a regra:

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

E substituímos p 0 e q 0 :

r r - 1 + 3 r - 2 = 0

r 2 + 2 r - 2 = 0

Essa será a equação indicial. Resolvendo ela por Bhaskara para acharmos as raízes:

r = - 2 ± 2 3 2

r 1 = - 1 + 3

r 2 = - 1 - 3

Elas serão os expoentes para nossa singularidade.

Resposta

a   x = 0

b   r 2 + 2 r - 2 = 0

r 1 = - 1 + 3

r 2 = - 1 - 3

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