Enunciado

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = (1)/(x)

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x) - (1)/(x))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((1)/(x + Delta x) - (1)/(x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x - (x + Delta x))/((x + Delta x) x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (x - (x + Delta x))/((x + Delta x) x) * (1)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (x - x - Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x)

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (- Delta x)/(Delta x (x + Delta x) x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (- 1)/((x + Delta x) x) = (- 1)/((x + 0) x) = (- 1)/((x) x) = - (1)/(x^2)

Resposta

(d y)/(d x) = - (1)/(x^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Tangentes horizontais Determine equações para as tangentes horizontais à curva y = x 3 - 3 x - 2 . Também determine equações para as retas que são perpendiculares a essas tangentes nos pontos de tangê
O polinômio geral de grau n tem a forma P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Em que a n ≠ 0 . Determine P ' x .
Determine todos os pontos x , y no gráfico de f x = x 2 com tangentes que passam pelo ponto ( 3,8 ) .
Para os Exercícios 67 e 68, avalie cada limite ao converter cada um deles em uma derivada com um determinado valor de x . lim x → - 1 ⁡ x 2 / 9 - 1 x - 1
Para os Exercícios 67 e 68, avalie cada limite ao converter cada um deles em uma derivada com um determinado valor de x . lim x → 1 ⁡ x 50 - 1 x - 1