Enunciado

Determine todos os pontos x , y no gráfico de f x = x 2 com tangentes que passam pelo ponto ( 3,8 ) .

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar a equação da reta tangente à curva f x . Para isso, precisamos achar o coeficiente angular da reta.

m = x 2 '

m = 2 x 2 - 1

m = 2 x

Passo 2

Lembrando que a equação da reta tangente é:

y - f a = f ' a x - a

Substituindo o coeficiente angular na equação da tangente

y - f a = 2 ∙ a x - a

y - f a = 2 a x - 2 a 2

y = 2 a x - 2 a 2 + f a

Passo 3

Substituindo o ponto 3,8 na equação da tangente:

8 = 2 a ∙ 3 - 2 a 2 + f a

8 = 6 a - 2 a 2 + f a

f a = 2 a 2 - 6 a + 8

Como o ponto a , f a é o ponto tangencial, esse ponto pertence a tangente e a curva f x . Logo,

f a = a 2

Igualando,

a 2 = 2 a 2 - 6 a + 8

a 2 - 6 a + 8 = 0

Utilizando Bhaskara,

a = 6 ± - 6 2 - 4 ∙ 1 ∙ 8 2 ∙ 1

a = 6 ± 36 - 32 2

a = 6 ± 4 2

a = 6 ± 2 2

Assim,

a 1 = 4 ; a 2 = 2

Passo 4

Já que achamos os valores de a , agora precisamos achar os valores de f a :

f 4 = 4 2 = 16

f 2 = 2 2 = 4

Pronto!!!

Resposta

4 , 16 ; 2 , 4

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