Enunciado

  1. Use a fórmula de redução do Exemplo 6 para mostrar que
  2. ∫ 0 �� 2 sen n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x

  3. Use a parte (a) para calcular ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x e ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x .
  4. Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno,

∫ 0 π 2 sen 2 n + 1 ⁡ x d x = 2 * 4 * 6 * … * 2 n 3 * 5 * 7 * … * 2 n + 1

Passo 1

Opa, bora fazer essa questãozinha! Aqui temos que demonstrar a seguinte igualdade:

∫ 0 π 2 sen n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x

Pra isso a gente vai usar o exemplo 6, onde temos:

∫ sen n ⁡ x d x = - 1 n cos ⁡ x sen n - 1 ⁡ x   + n - 1 n ∫ sen n - 2 ⁡ x d x    

Então:

∫ 0 π 2 sen n ⁡ x d x = - cos ⁡ x sin n - 1 �� x n 0 π 2 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x

= 0 - 0 + n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x

Chegamos em:

∫ 0 π 2 sen n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x

Prontinho! A letra (a) foi!

Passo 2

Pra a letra (b) a gente tem que calcular

∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x

∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x

Usando n = 3 na parte (a) nós teremos:

∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x = 2 3 ∫ 0 π 2 sen ⁡ x d x = - 2 3 cos ⁡ x 0 π 2 = 2 3

Usando n = 5 na parte (a) nós teremos:

∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x = 4 5 ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x = 4 5 2 3 = 8 15

Passo 3

Agora a gente vai usar a letra (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, temos:

∫ 0 π 2 sen 2 k + 1 ⁡ x d x = 2 × 4 × 6 × … × 2 k 3 × 5 × 7 × … × 2 k + 1

A fórmula serve para n = 1 , que é 2 n + 1 = 3 , como vimos naletra (b). Assumindo que ela serve para alguma k ≥ 1 , então

∫ 0 π 2 sen 2 k + 1 ⁡ x d x = 2 × 4 × 6 × … × 2 k 3 × 5 × 7 × … × 2 k + 1

Pelo Exemplo 6, teremos que :

∫ 0 π 2 sen 2 k + 3 ⁡ x d x = 2 k + 2 2 k + 3 ∫ 0 π 2 sen 2 k + 1 ⁡ x d x = 2 k + 2 2 k + 3 2 × 4 × 6 × … × 2 k 3 × 5 × 7 × … × 2 k + 1 =

2 × 4 × 6 × … × 2 k [ 2 k + 1 ] 3 × 5 × 7 × … × 2 k + 1 [ 2 k + 1 + 1 ]

Assim, confirmamos que a fórmula serve para n = k + 1 . Por indução, dá pra perceber que a fórmula serve pra qualquer n ≥ 1 .

Resposta

  1. Demonstração
  2. ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x = 2 3 ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x = 8 15

  3. Demonstração
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