Enunciado

a) Use a integração por partes para mostrar que

∫ f ( x ) d x = x f x - ∫ x f ' ( x ) d x

b) Se f e g são funções inversas e f ' é contínua, demonstre que

∫ a b f x d x = b f b - a f a - ∫ f a f b g y d y

[Sugestão: Use a parte (a) e faça a substituição y = f x . ]

c) No caso em que f e g são funções positivas e b > a > 0 , desenhe um diagrama para dar uma interpretação geométrica à parte (b).

d) Use a parte (b) para calcular ∫ 1 e ln ⁡ x d x .

Passo 1

E aí! Suave? 😉

Nesse problema queremos mostrar que ∫ f ( x ) d x = x f x - ∫ x f ' ( x ) d x pelo método de integração por partes e se f e g forem funções inversas e f ' for contínua, então ∫ a b f x d x = b f b - a f a - ∫ f a f b g y d y .

Muita coisa, né? 👀

O método de integração por partes é uma técnica para calcular integrais que envolvem o produto de duas funções. Esse método se baseia na regra do produto para a derivada, que diz que:

f g ' = f ' g + f g '

Integrando ambos os membros dessa igualdade, obtemos:

∫ f g ' d x = ∫ f ' g d x + ∫ f g ' d x

f g = ∫ f ' g d x + ∫ f g ' d x

Isolando a integral que queremos calcular, temos:

∫ f ' g d x = f g - ∫ f g ' d x

Veja só! 😉

Passo 2

Se fizermos f ' = 1 e g = f x , temos que f = x e g ' = f ' x

Ou seja, pelo que vimos no passo 1, temos

∫ f x d x = x f x - ∫ x f ' x d x

Para provar que

∫ a b f x d x = b f b - a f a - ∫ a b x   f ' ( x ) d x

Usaremos y = f ( x ) , de modo que x = g ( y ) e d y = f ' x d x

Então,

∫ a b x   f ' ( x ) d x = ∫ f a f b g y d ( y )

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

A parte (b) diz que a área da região A B F C é

A B F C = b f b - a f a - ∫ f a f b g y d y

A B F C = á r e a   d o   r e t .   O B F E - á r e a   d o   r e t .   O A C D - ( á r e a   d a   r e g i ã o   D C F E )

Assim, temos o seguinte diagrama:

Legal, né? 😊

Passo 4

Nós temos que f x = ln ⁡ x , então, f - 1 x = e x , e desde que g = f - 1 , nós temos que g y = e y .

Pela parte (b), conseguimos chegar na seguinte integral:

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e ln ⁡ e - 1 ln ⁡ 1 - ∫ ln ⁡ 1 ln ⁡ e e y d y

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e - ∫ 0 1 e y d y

Calculando a integral e aplicando os limites de integração

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e - e y 0 1

∫ 1 e ln ⁡ x d x = e - e - 1

∫ 1 e ln ⁡ x d x = 1

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

Respostas nos passos!

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