Enunciado

Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla.

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A ,       D   é   o   d i s c o   c o m   c e n t r o   n a   o r i g e m   e   r a i o   R

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considerar a expressão:

z = R 2 - x 2 - y 2

Porém estamos no plano x y e z = 0 , logo:

R 2 - x 2 - y 2 = 0

R 2 - x 2 - y 2 = 0

y = ± R 2 - x 2

Passo 2

A região será:

D = x , y | - R ≤ x ≤ R ,   - R 2 - x 2   ≤ y ≤ R 2 - x 2  

Passo 3

Nós temos que:

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = ∫ - R R ∫   - R 2 - x 2   R 2 - x 2   R 2 - x 2 - y 2 d y d x

Podmeos dizer que:

∫ - R R ∫   - R 2 - x 2   R 2 - x 2   R 2 - x 2 - y 2 d y d x = 4 ∫ 0 R ∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 - y 2 d y d x

4 ∫ 0 R ∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 - y 2 d y d x = 4 ∫ 0 R ∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 2 - y 2 d y d x

Resolvendoa integral de dentro, temos que:

∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 2 - y 2 d y = R 2 - x 2 2 sen - 1 ⁡ y R 2 - x 2 + y 2 R 2 - x 2 - y 2 0 R 2 - x 2  

= R 2 - x 2 2 sen - 1 ⁡ 1 + 0 - 0 - 0

= R 2 - x 2 2 π 2

∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 2 - y 2 d y = R 2 - x 2 π 4

Substituindo na integral temos:

4 ∫ 0 R ∫   0 R 2 - x 2   R 2 - x 2 2 - y 2 d y d x = 4 ∫ 0 R R 2 - x 2 π 4 d x

Resolvendo, temos:

4 ∫ 0 R R 2 - x 2 π 4 d x = π R 2 x - x 3 3 0 R

= π R 3 - R 3 3 - 0

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = 2 π R 3 3

Resposta

∬ D R 2 - x 2 - y 2 d A = 2 π R 3 3

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