Enunciado

Demonstre a Propriedade 11.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A questão pede ara demonstrarmos a propriedade 11 que basicamente diz que se a função f ( x , y ) é limitada no domínio de integração D , isto é, se m <= f (x , y) <= M , AA (x , y) in D , então:

m A ( D ) <= ∬_D f (x , y) d A <= M A ( D )

Onde A ( D ) é a área do domínio de integração:

A (D) = ∬_D d A

Para demonstrar a propriedade, vamos aplicar a propriedade sanduiche de integrais:

Se m <= f (x , y) <= M então:

∬_D m d A <= ∬_D f (x , y) d A <= ∬_D M d A

Passo 2

Como m e M são contantes, podemos tirar elas da integral:

m ∬_D d A <= ∬_D f (x , y) d A <= M ∬_D d A

Por outro lado, sabemos que:

A (D) = ∬_D d A

Portanto é só substituir:

m A (D) <= ∬_D f (x , y) d A <= M A (D)

Provando assim a propriedade.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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