Demonstre a Propriedade 11.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A questão pede ara demonstrarmos a propriedade 11 que basicamente diz que se a função f ( x , y ) é limitada no domínio de integração D , isto é, se m ≤ f x , y ≤ M , ∀   x , y ∈ D , então:

m A ( D ) ≤ ∬ D f x , y d A ≤ M A ( D )

Onde A ( D ) é a área do domínio de integração:

A D = ∬ D d A

Para demonstrar a propriedade, vamos aplicar a propriedade sanduiche de integrais:

Se m ≤ f x , y ≤ M então:

∬ D m d A ≤ ∬ D f x , y d A ≤ ∬ D M d A

Passo 2

Como m e M são contantes, podemos tirar elas da integral:

m ∬ D d A ≤ ∬ D f x , y d A ≤ M ∬ D d A

Por outro lado, sabemos que:

A D = ∬ D d A

Portanto é só substituir:

m A D ≤ ∬ D f x , y d A ≤ M A D

Provando assim a propriedade.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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