Enunciado

Use um gráfico para estimar as equações de todas as assíntotas verticais da curva

y = tan ⁡ 2 sin ⁡ x ,   - π ≤ x ≤ π

Encontre então as equações exatas dessas assíntotas.

Passo 1

Esboçando o gráfico da função, ficamos com

Pelo gráfico podemos ver que temos as seguintes assíntotas.

x ≈ ± 0,90   e   x ≈ ± 2,24

Passo 2

Agora, iremos calcular as equações exatas das assíntotas da função, para isso, temos que calcular valores de a tal que

lim x → a ⁡ tan ⁡ 2 sin ⁡ x = ± ∞

Sabemos que

lim θ → a ⁡ tan ⁡ θ = ± ∞

a = π 2 + k π

Então, temos que

2 sin ⁡ x = π 2 + k π

sin ⁡ x = π 4 + k π 2

Sabemos que

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Então, temos que

sin ⁡ x = ± π 4

x = ± sin - 1 ⁡ π 4

x ≈ ± 0,90

Passo 3

Agora, precisamos pensar o seguinte, desde que 150 ° é o angulo referencia para 30 ° , temos que

π - sin - 1 ⁡ π 4

É o ângulo referencia para sin - 1 ⁡ π 4 . Então

x = ± π - sin - 1 ⁡ π 4

Também são equações das assíntotas verticais da função, então

x = ± 2,24

Passo 4

Note que foi necessário calcular dois ângulos diferentes, pois, analisando a imagem abaixo, podemos concluir que dois ângulos possuem o mesmo valor de seno (como foi citado acima os ângulos de 150 ° e 30 ° ).

Resposta

x ≈ ± 0,90   e   x ≈ ± 2,24

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