Enunciado

Se lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² = 5 , encontre os seguintes limites.

a) lim x → 0 ⁡ f ( x )

b) lim x → 0 ⁡ f ( x ) x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver os seguintes limites:

lim x → 0 ⁡ f ( x )

lim x → 0 ⁡ f ( x ) x

Para isso, sabemos que:

lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² = 5

Eita!! Como a gente calcula sem saber quem é f x ???

Caalma haha

Para isso, temos que analisar bem esse limite que nos foi dado e verificar o que a gente pode tirar de informação sobre a existência dele.

A estratégia aqui é lembrar das propriedade envolvidas no cálculo do limite.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

a) Vamos usar a propriedade da divisão no limite, transformando

lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² = 5

Em

lim x → 0 ⁡ f ( x ) lim x → 0 ⁡ x ² = 5

Temos então que, multiplicando ambos os lados por lim x → 0 ⁡ x ² :

lim x → 0 ⁡ f x lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ x 2 = 5 ⋅ lim x → 0 ⁡ x 2

Boa, com isso podemos simplificar o lado esquerdo, e teremos:

lim x → 0 ⁡ f x = 5 lim x → 0 ⁡ x 2 ∴

E resolvendo o limite do lado direito, encontramos

lim x → 0 ⁡ f x = 5 ⋅ 0

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Que é justamente o que queríamos no item a). Olha que maravilha!!!

Passo 3

b) Sabemos previamente que

lim x → 0 ⁡ f ( x ) x ² = 5

Podemos reescrever esse limite como

lim x → 0 ⁡ f ( x ) x x = 5

Usando, novamente, a propriedade da divisão:

lim x → 0 ⁡ f x x lim x → 0 ⁡ x = 5

Vamos agora multiplicar ambos os lados por lim x → 0 ⁡ x :

lim x → 0 ⁡ f x x lim x → 0 ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ x = 5 ⋅ lim x → 0 ⁡ x

E simplificando o lado esquerdo, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ f x x = 5 ⋅ lim x → 0 ⁡ x

lim x → 0 ⁡ f x x = 5 ∙ 0 = 0

E achamos nossa reposta.

Resposta

  1. lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0
  2. lim x → 0 ⁡ f ( x ) x = 0
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