Enunciado

Use integração por partes para calcular a integral.

∫ x ⋅ e - x d x

Passo 1

Precisamos montar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Podemos usar a regrinha do LIATE (log, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial) para escolher u .

Vemos que nosso integrando é um produto entre uma função algébrica ( x ) e uma exponencial ( e - x ). Então pela regrinha:

u = x , d u d x = 1 ∴ d u = d x

d v = e - x d x

Passo 2

Para achar v precisamos integrar d v . Podemos tentar uma substituição simples:

v = ∫ e - x d x

t = - x , d t d x = - 1 ∴ d t - 1 = d x

Substituindo na nossa integral e calculando:

v = - 1 ∫ e t d t = - e t = - e - x

Passo 3

Agora a gente pode usar a fórmulinha:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo o que a gente tem:

∫ x ⋅ e - x d x = x ⋅ - e - x - ∫ - e - x ⋅ 1 d x = - x e - x + ∫ e - x d x

A gente viu no passo anterior que:

∫ e - x d x = - e - x

Nossas continhas ficam:

∫ x ⋅ e - x d x = - x e - x + ∫ e - x d x = - x e - x - e - x + C

Não podemos esquecer da constante de integração, porque isso não é uma integral definida.

Resposta

- x e - x - e - x + C

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