Enunciado

33. Use integração para provar que a circunferência do círculo x 2 + y 2 = a 2 é 2 π a .

Passo 1

A circunferência do círculo nada mais é que o comprimento do arco da função que descreve o mesmo. Sendo assim, para mostrar o que está sendo pedido basta ter em mente como é dado o comprimento do arco de uma função num intervalo.

Passo 2

A equação de um quarto do círculo de raio a é dada por :

y = a 2 - x 2

Passo 3

Sabemos que o comprimento de arco de uma curva é:

L = ∫ a b d x d x + d y d x d x

Como a equação representa ¼ de círculo, para encontrar o valor do seu comprimento total basta multiplicar a expressão que nos fornece o comprimento por 4 e ficamos com:

L = 4 .   ∫ a b d x d x 2 + d y d x 2 d x = 4 .   ∫ 0 a 1 + - x a 2 - x 2 2 d x

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em a (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

L = 4 .   ∫ 0 a 1 + - x a 2 - x 2 2 d x = 4 . l i m t → 0 + ∫ t a 1 + x 2 a 2 - x 2 d x =

= 4 a . l i m t → 0 + ∫ t a d x a 2 - x 2 = 4 a .   l i m t → 0 + s e n - 1 x a t a = 4 a .   l i m t → 0 + π 2 - 0 = 2 π a

Logo, o comprimento de arco do círculo é L = 2 π a .

Resposta

Demonstração.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 1 ∞ x + 1 x 2 + 2 xd x