Enunciado

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelo parabolóide x = y 2 + z 2 e pelo plano x = 16

Passo 1

Para calcular o volume, vamos calcular a integral

V = ∭ E 1   d V

Temos que a variação de x é y 2 + z 2 ≤ x ≤ 16 e a variação de y e z podemos colocar em coordenadas polares substituindo

y = r cos ⁡ θ

z = r sen ⁡ θ

E temos a variação

0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Calculando a integral temos

V = ∭ E 1   d V = ∬ D ∫ y 2 + z 2 16 1   d x d A

= ∬ D 16 - y 2 - z 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 16 - r 2 r   d r d θ

Como a função não depende de θ , já podemos tirar a variação multiplicando

= 2 π - 0 ∫ 0 4 16 r - r 3   d r = 2 π 8 r 2 - r 4 4 0 4

= 2 π 8 ⋅ 4 2 - 4 4 4 = 2 π 2 7 - 2 6

= 2 π 128 - 64 = 2 π ( 64 )

= 128 π

Resposta

= 128 π

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