Enunciado

15.1. Determine int_0^3 f ( x , y ) d x e int_0^4 f ( x , y ) d y .

f (x , y) = (y)/(x + 2)

Passo 1

Vamos resolver essas integrais, a primeira integral fica o seguinte

int_0^3 ((y)/(x + 2)) d x

Agora estamos integrando só em x , então fica

((y)/(x + 2)) d x = [y ln |x + 2|]_0^3

Substituindo

int_0^3 ((y)/(x + 2)) d x = [y ln |3 + 2|] - [y ln |0 + 2|] = y (ln 5 - ln 2)

Passo 2

Agora falta a segunda integral

int_0^4 ((y)/(x + 2)) d y

Essa aqui a gente está integrando em y

Ficamos com

int_0^4 ((y)/(x + 2)) d y = [(1)/(x + 2) ((y^2)/(2))]_0^4

Substituindo os limites

int_0^4 ((y)/(x + 2)) d y = [(1)/(x + 2) ((4^2)/(2))] - [(1)/(x + 2) ((0^2)/(2))] = (8)/(x + 2)

Resposta

int_0^3 ((y)/(x + 2)) d x = y (ln 5 - ln 2)

int_0^4 ((y)/(x + 2)) d y = (8)/(x + 2)

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