Enunciado

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T y + x 2 z d V

Onde T é paralelepípedo retângulo 1 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 ,   - 3 ≤ z ≤ 5 .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Nossa superfície T é delimitada por:

1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 1

- 3 ≤ z ≤ 5

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T y + x 2 z d V

=   ∫ 1 2 ∫ 0 1 ∫ - 3 5 y + x 2 z d z d y d x = ∫ 1 2 ∫ 0 1 y + x 2 16 2 d y d x =

∫ 1 2 ( 8 x 2 + 4 ) d x = 68 3

Resposta

68 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região entre o cilindro z = y 2 e o plano x y que é delimitada pelos planos x = 0 , x = 1 , y = - 1 , y = 1
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região cortada do cilindro x2 + y2 = 4 pelo plano z = 0 e oplano x + z = 3
Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre aregião determinadaF(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sobre o cubo no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos x = 1, y
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região cortada do cilindro elíptico sólido x2 + 4y2 ≤ 4 peloplano xy e o plano z = x + 2.
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y + z = 2 e o cilindro x = 4 - y 2