Enunciado

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano 2 x + y + z = 4

Passo 1

Para calcular o volume, vamos calcular a integral

V = ∭ E 1   d V

Isolando z na equação do plano

z = 4 - 2 x - y

Podemos escrever a variação de z como 0 ≤ z ≤ 4 - 2 x - y e encontramos as variações de x e y pela intersecção do plano dado no plano z = 0

4 - 2 x - y = 0

Isolando y temos

y = 4 - 2 x

Podemos botar a variação de y como 0 ≤ y ≤ 4 - 2 x e a variação de x encontramos quando y = 0

4 - 2 x = 0

2 x = 4

x = 2

Então 0 ≤ x ≤ 2

Passo 2

Calculando a integral temos

V = ∭ E 1   d V = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 x ∫ 0 4 - 2 x - y 1   d z d y d x

= ∫ 0 2 ∫ 0 4 - 2 x 4 - 2 x - y d y d x = ∫ 0 2 4 y - 2 x y - y 2 2 0 4 - 2 x d x

= ∫ 0 2 4 4 - 2 x - 2 x 4 - 2 x - 4 - 2 x 2 2 d x

= ∫ 0 2 16 - 8 x - 8 x + 4 x 2 - 16 - 16 x + 4 x 2 2 d x

= ∫ 0 2 16 - 8 x - 8 x + 4 x 2 - 8 + 8 x - 2 x 2 d x

= ∫ 0 2 8 - 8 x + 2 x 2 d x = 8 x - 4 x 2 + 2 x 3 3 0 2

= 16 - 16 + 16 3 = 16 3

Resposta

= 16 3

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é a região delimitada por z = x 2 + y 2 - 4 , z = 4 - x 2 - y 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T x y d V Onde T é o solido do primeiro octante limitada por z = 4 - x 2,y = 0 ,z = 0ey = x .
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ x 2 x ∫ 0 2 + x + y x d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 1 ∫ 0 1 - y ∫ 0 1 - x - y d z d x d y
Esboçar a região de integração e calcular as integrais ∫ 0 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y y d z d y d x