Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 9
7-10.
a) Determine o gradiente de .
b) Calcule o gradiente no ponto .
c) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
9.
Passo 1
a) Antes de resolvermos tudo, vamos reescrever esse vetor nas coordenadas e que conhecemos, tudo bem? Convertendo, teremos:
De acordo com a seção 14.6 do Stewart, o gradiente de é calculado da seguinte forma:
Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:
Substituindo as derivadas parciais no gradiente:
Passo 2
b) Poxa, e como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:
Passo 3
c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor qualquer, devemos fazer:
Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é:
Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:
Resposta
a)
b)
c)