Enunciado

7-10.

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

9. f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3 ,   P 2 ,   - 1 ,   1 ,   u =   0 , 4 5 ,   - 3 5

Passo 1

a) Antes de resolvermos tudo, vamos reescrever esse vetor u nas coordenadas i ,   j e k que conhecemos, tudo bem? Convertendo, teremos:

  u = 0 , 4 5 ,   - 3 5 = 0 i + 4 5 j - 3 5 k

De acordo com a seção 14.6 do Stewart, o gradiente de f é calculado da seguinte forma:

∇ f x ,   y ,   z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:

f x ,   y ,   z = x 2 y z - x y z 3

∂ f ∂ x = 2 x y z - y z ³

∂ f ∂ y = x 2 z - x z ³

∂ f ∂ z = x 2 y - 3 x y z 2

Substituindo as derivadas parciais no gradiente:

∇ f x ,   y ,   z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

Passo 2

b) Poxa, e como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:

P ( 2 ,   - 1 ,   1 )

∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = 2.2 . - 1 . 1 - - 1 . 1 3 i + 2 2 . 1 - 2.1 3 j + 2 2 . - 1 - 3.2 . - 1 . 1 2 k

∴ ∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k

Passo 3

c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor u qualquer, devemos fazer:

D u f x ,   y ,   z = ∇ f x ,   y ,   z . u

Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é:

u = 0 i + 4 5 j - 3 5 k

Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:

D u f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k . 0 i + 4 5 j - 3 5 k

D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 0 + 8 5 - 6 5

∴ D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 2 5

Resposta

a) ∇ f x ,   y ,   z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

b) ∇ f 2 ,   - 1 ,   1 = - 3 i + 2 j + 2 k

c) D u f 2 ,   - 1 ,   1 = 2 5

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