Enunciado

Use a Lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura de um corpo num ambiente onde a temperatura é 40 ° , se 30 min atrás a temperatura do corpo era 150 ° e 10 min atrás era de 90 ° .

Passo 1

Pra resolver esse exercício, temos que usar a Lei do resfriamento de Newton, que tem essa cara aqui:

d T d t = k T - T a m b

Onde K é uma constante e T > 40 para todo t ≥ 0 .

As informações contidas no enunciado vão nos ajudar a escrever as condições de contorno corretas!

t = 0 min ⁡ →   T = 150 °

t = 20 min ⁡ →   T = 9 0 °

Queremos então T quando t = 30   m i n . Bora calcular!

Passo 2

Rescrevendo a equação na forma mais comum de uma equação diferencial:

d T d t - k T = - 40 k

Podemos observar que trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, e que pode ser resolvida utilizando o método do fator integrante.

Assim, o fator integrante para a mesma é:

e ∫ - k d t = e - k t

Passo 3

Multiplicando ambos os membros da equação pelo fator integrante teremos:

e - k t . d T d t - e - k t k T = - e - k t . 40 k

e - k t . T ´ = - 40 k e - k t

Integrando ambos os membros da equação obtemos:

e - k t . T = 40 e - k t + C

T = 40 + C e k t

Passo 4

Aplicando as condições de contorno fornecida no enunciado temos:

Quando t = 0   m i n , T = 150 ° :

T = 40 + C e k t

150 = 40 + C e 0

C = 110

Quando t = 20   m i n , T = 90 ° :

90 = 40 + 110 e 20 k

e 20 k = 5 11

Aplicando ln dos dois lados:

20 k = - 0,79

k = - 0,04

Assim, podemos escrever :

T = 40 + 110 e - 0,04 t

Passo 5

Pronto, agora que temos a expressão para a temperatura em função do tempo é só substituir pras condições que o problema pediu pra gente!

Queremos t   =   30   m i n a partir do momento que o corpo começou a resfriar:

T = 40 + 110 e - 0,04 . 30

T = 73,13 °

Logo, após 30 min a temperatura do corpo será 73 ° .

Resposta

T 30 = 73 °

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